Ballade en pays Mandelbrot

Quelques paysages rencontrés lors de mon errance en pays Mandelbrot.

Si l'on veut définir la représentation graphique des images fractales autour de l'ensemble de Mandelbrot en une phrase, on pourrait dire:

C'est le degré n de divergence de la suite complexe z_n+1 = z_n² + c , initiée avec z₀ = 0 , pour chaque point du plan complexe c.

Simplissime, non ? Et pourtant cette petite équation donne lieu à une infinité de tableaux complexes, tous différents, tous semblables, et dont l'esthétisme et la ressemblance frappante avec les merveilles observées dans la nature — le monde végétal en particulier — n'échapperont à personne.

Benoît Mandelbrot [1934-2010], mathématicien franco-américain, avait visualisé pour la première fois l'ensemble fractal qui porte maintenant son nom, grâce aux premiers PC d'IBM, en mars 1980. Deux ans auparavant, en 1978, la visualisation numérique se résumait à ceci:

J'ai personnellement découvert les fractales et l'ensemble de Mandelbrot au lycée au début des années 80, alors que je venais d'apprendre ce qu'était un nombre complexe, et que les micro-ordinateurs étaient en plein essor: Sinclair ZX81, Commodore 64, Thomson TO7, Atari, Amstrad CPC, etc... premier Macintoch d'Apple et bien sûr les PC XT/AT d'IBM et autres « compatibles PC »...

À cette époque, pour obtenir une seule représentation d'un détail un peu intéressant de l'ensemble, il fallait plusieurs heures, voire plusieurs jours de calcul ! Puis de longues minutes pour une sortie papier et bruyante sur imprimante matricielle. Et pourtant la soif de découvrir cet univers infini et chaotique, caché derrière cette simplicité mathématique, ne m'a pas empêché d'y consacré quelques week-end entiers!

Avec la puissance des ordinateurs d'aujourd'hui, qui a été multipliée par 2¹⁵ (32768) en 30 ans — selon la loi de Moore, et qui s'est vérifiée dans les faits —, représenter un ensemble de Mandelbrot est un véritable jeu d'enfant (enfin, d'adolescent ayant bien assimilé ses cours de math!). Voici ce que donnent quelques lignes de code Matlab/Octave et 30 secondes de calcul sur un petit ordinateur portable:

L'ensemble de Mandelbrot (en noir), représenté dans son plan complexe.

J'en viens à l'objet de cette petite note: j'ai découvert récemment une petite application gratuite pour smartphone, Fractile Plus (© 2010 Georg Klein), qui permet de naviguer dans les ensembles de Mandelbrot et de Julia avec la même aisance qu'un Google Maps. La rapidité du tracé et les effets de zooms et déplacements sur l'écran tactile, permettent de véritablement se promener dans cet univers infini, découvrir de nouveaux paysages, explorer des recoins où de nouvelles géométries apparaissent, parfois inattendues... Cette ballade virtuelle me fait ressentir, en temps-réel, les émotions que je recherchais désespérément il y a 30 ans avec mon Amstrad CPC464.

Le montage d'images ci-dessus est constitué de copies d'écran prises au hasard lors de mes errances dans ce monde virtuel. À chaque degré de divergence n, une couleur est attribuée. Le nombre maximum d'itérations de la suite mathématique est limité à 4096. Si la divergence de la suite n'est toujours pas atteinte à ce niveau d'itération pour un point donné, le pixel de l'image est noir et l'on considère que ce point fait parti de l'ensemble de Mandelbrot.

Certaines des images sont au niveau de zoom maximum permis par l'application (processeur 64 bits), soit 14.10¹² = 14 mille milliards de fois grossi par rapport à l'image globale de l'ensemble. J'ai préservé la même palette de couleurs pour toutes les images pour l'esthétisme du montage.

Voir toutes les photos en pleine résolution sur ce lien.

Liens

• The Mandelbrot Set (Wikipédia, English)
• The Mandelbrot Set (Mathworld, English)
• Fractile Plus (iOS app)